有余数的除法教学反思2

在小学数学的教学版图中，有余数的除法无疑是一块基石，它不仅是对学生数感、运算能力的一次综合检验，更是连接整数、分数、小数乃至代数初步思想的关键桥梁。作为一名教育工作者，在经历了一轮又一轮的教学实践后，我深感每一次的教学反思都如同一次思想的洗礼，促使我不断审视、迭代和升华对这一核心概念的理解与教学策略。此篇“有余数的除法教学反思2”，便是在前次反思的基础上，对教学过程中遇到的深层问题、潜在误区以及更为精进的教学方法的再思考与再构建。

一、重审核心概念：余数除法的本质与意义深度解析

有余数的除法，其核心远不止于“不够分就剩下”的表面现象。它蕴含着对“公平分配”与“有效分组”的深刻理解，是学生从具象操作走向抽象思维的重要跳板。

1. 公平分配与有效分组的哲学：

最初接触除法时，学生往往通过分糖果、分玩具等直观活动来理解“平均分”。有余数的除法在此基础上，引入了“分不完”、“剩下”的概念。这并非简单的剩余，而是一种在特定规则（等量分配）下，无法再继续进行分配的“尽力而为”后的结果。例如，10个苹果分给3个小朋友，每人3个，还剩1个。这个“1”的意义在于，它已经不足以再进行一次完整的、公平的分配。这种“分尽”而“有余”的逻辑，训练的是学生在面对现实问题时，如何进行最优解下的残余处理。

进一步讲，从“分组”的角度看，有余数的除法是考察在一个整体中，能包含多少个完整的小组。例如，10个苹果，每3个装一袋，能装3袋，还剩1个。这里的“3袋”和“1个”的含义与“每人3个，还剩1个”有异曲同工之妙，但侧重点略有不同。“分组”更强调整体与部分的关系，以及“多少个完整单位”的概念，这为后续学习乘法与除法的互逆关系、以及解决包含“向上取整”或“向下取整”的实际问题奠定了基础。

2. 从具象到抽象：数感与逻辑的桥梁

有余数的除法是学生数感发展的重要里程碑。它要求学生在具体情境中建立数之间的关系，并逐步脱离具体实物，用抽象的数字和符号来表达。例如，当学生掌握了“被除数 = 除数 × 商 + 余数”这一关系式时，他们不仅仅是在记忆一个公式，而是在理解一种普适的数学结构。这个结构揭示了除法运算的本质，即它可以通过乘法和加法来逆向验证，这对于培养学生的数学思维的严谨性和逻辑性至关重要。

在教学中，我们必须有意识地引导学生经历从动手操作（分实物）、到图示（画圈圈、连线）、再到符号（列算式）的转化过程。如果过早地强调算法，学生可能会“知其然不知其所以然”，一旦脱离了具体情境，便容易混淆概念或出现错误。深度的教学反思提醒我，这个转化过程绝非一蹴而就，需要充足的时间和多样的练习形式来巩固。例如，在理解“余数必须小于除数”时，不仅仅是口头强调规则，更要通过实物操作，让学生亲身体验，如果余数大于或等于除数，就意味着还可以再分一次，从而得出这个关键结论。

3. 数学发展的前瞻性：高阶数学的铺垫

有余数的除法在看似简单的表象下，蕴含着丰富的数学思想，为学生未来学习更复杂的数学概念埋下伏笔。

分数与小数的基础： 余数除法的本质是整数除法不尽的情况。如果我们将余数继续进行“平均分”，就自然过渡到分数和小数的概念。例如，10 ÷ 3 = 3 余 1，这个“1”如果继续分给3个人，每个人就能得到1/3。这直接架起了整数除法与分数、小数之间的桥梁。

模运算的雏形： 在计算机科学和高等数学中，模运算（Modular Arithmetic）是一个重要的概念，它关注的是整数除法中的余数。例如，10 mod 3 = 1。小学阶段的余数除法，就是对模运算最朴素的启蒙，让学生理解“同余”的概念，即不同的数除以同一个数，可能得到相同的余数。

代数思维的萌芽： 表达式“被除数 = 除数 × 商 + 余数”本身就是一个简单的代数方程形式。通过填写缺失的数字，学生在不知不觉中进行着代数思考，为未来学习变量、方程奠定基础。

因此，对有余数的除法的教学，绝不能仅仅停留在计算层面。教师需要从更宏观的数学视角出发，帮助学生理解其概念深度、思维价值和未来发展潜力，从而激发学生更深层次的学习兴趣和探究欲望。

二、常见挑战与深层误区剖析：超越表象，洞察学情

在教学实践中，学生在有余数的除法上出现的错误并非偶然，它们往往指向学生认知结构中的深层漏洞或理解偏差。我的第二次反思，更加聚焦于这些“为何会错”的深层原因。

1. 余数概念的模糊性与“余数小于除数”的深刻含义：

这是最常见也是最核心的难点。学生机械地记住“余数要比除数小”，但对其背后的逻辑缺乏深刻理解。

误区表现： 在计算时，有时会出现余数大于或等于除数的情况，但学生未能察觉或不明白为何要修正。

深层原因：

具象体验不足： 没有通过足够多的实物操作，亲身体验“如果余数和除数一样多或更多，就意味着还能再分一次”，从而未能内化这一规则。

语言描述的限制： “剩下”这个词有时会误导学生，让他们觉得只要是“剩下”的都是余数，而忽略了“不能再分”这一前提。

对“商”的理解不到位： 商代表的是“分了几次完整的份”，如果余数还能再分，就说明“商”没有取到最大值，这直接关系到对除法意义的理解。

教学反思： 必须强化具象操作和逻辑推理，而非简单告知规则。我尝试让学生扮演“分配者”，当他们发现手中的“余数”还能凑成一份时，自然会修正之前的分配方案。通过追问“为什么余数不能比除数大？”引导学生用自己的语言解释，而不是背诵定义。

2. 程序性理解与概念性理解的脱节：

许多学生能够熟练地进行竖式计算，但面对应用题或变形题时便束手无策。

误区表现： 能算出“29 ÷ 4 = 7 余 1”，但不知道“7”和“1”在“29个苹果，每4个装一盘，能装几盘，还剩几个？”这道题中分别代表什么。或者反过来，知道答案，却无法列出正确的算式。

深层原因：

教学重心过于偏向算法： 为了追求计算速度和准确性，教师可能在无意中将教学重心放在了“如何计算”而非“理解意义”。

缺乏情境问题的渗透： 枯燥的数字计算无法帮助学生建立起数学与现实世界的联系。

乘法与除法关系理解薄弱： “被除数 = 除数 × 商 + 余数”这一等式是检验和理解除法的关键，学生若只是死记硬背，便无法灵活运用。

教学反思： 我现在更加强调“情境先行”原则。每个计算练习都尽可能赋予其现实意义，甚至鼓励学生为算式编故事。在算法教学后，会通过变式练习，如“已知除数、商、余数，求被除数”，来强化概念性理解和逆向思维。

3. 乘法基础薄弱的连锁反应：

有余数的除法计算，尤其是在估商环节，对乘法口诀的熟练程度要求极高。

误区表现： 估商不准，导致计算过程反复试错，效率低下，且容易产生计算错误。

深层原因：

乘法口诀记忆不牢固： 学生背诵口诀时缺乏理解，导致提取速度慢，或在计算时混淆。

对乘法意义理解不足： 未能将乘法看作“几个几”，从而难以快速判断“几个除数接近被除数”。

教学反思： 乘法是除法的基础，此问题不解决，有余数除法的学习便步履维艰。除了加强乘法口诀的复习，我还会利用数轴、数组等可视化工具，帮助学生建立乘法与除法之间的“倍数”关系，例如，在估算“29 ÷ 4”时，引导学生思考4的倍数：4×1=4, 4×2=8, …, 4×7=28, 4×8=32，发现28最接近29且不大于29，从而确定商是7。这比纯粹的“试商”更具策略性。

4. 实际问题情境中的转化与解释困境：

学生在解决实际问题时，往往混淆商和余数的实际意义，尤其是在需要根据实际情况对商进行“向上取整”或“向下取整”时。

误区表现： “30个人去郊游，每辆车坐8人，需要几辆车？”学生算出30 ÷ 8 = 3 余 6，可能会回答需要3辆车或3辆半车。

深层原因：

生活经验与数学模型的脱节： 未能将数学计算的结果与实际生活中的逻辑联系起来。

缺乏对商和余数“单位”的敏感性： 混淆了数字本身与它们所代表的具体含义（如“人”、“辆”）。

教学反思： 引入大量具有现实意义的开放性问题，并进行深入的讨论。在上述例子中，我会提问：“那剩下的6个人怎么办？他们不去了吗？”引导学生认识到，即使只有一个人，也需要一辆车，所以需要“3+1=4”辆车。反之，如果是“30个面包，每8个装一袋，能装几袋？”则只计算“3袋”，因为剩下的6个面包不能单独算作一袋。通过对比不同情境，让学生深刻理解商和余数在实际问题中的不同解释和处理方式。

三、优化教学策略：从“教”到“促学”的深度转型

在深化对学情和概念的理解后，我的教学策略也随之进行了调整，更加注重启发式、探究式的教学，力求从“教师教”转向“学生学”，真正促进学生的自主建构。

1. 升级版操作材料与可视化工具的运用：

过去的教学可能停留在使用简单的计数器或小棒，现在我更加注重材料的系统性和进阶性。

系统化材料： 除了小棒，引入积木、乐高、方格纸，甚至自制棋盘游戏。例如，在方格纸上画出矩形区域代表被除数，通过圈画、分割来模拟除法过程，余数则是无法被完整圈出的部分。这不仅形象，也为后续的长方形面积、周长等概念做了铺垫。

数字化工具： 利用交互式白板上的拖拽功能、在线数学游戏或虚拟操作平台，让学生在数字环境中进行“分一分，看一看”，增强学习的趣味性和互动性。这些工具往往能提供即时反馈，帮助学生及时发现并纠正错误。

数轴的妙用： 将有余数的除法在数轴上进行可视化。例如，17 ÷ 3，从0开始，每次跳3格，看能跳多少次，最后离17还差多少。这不仅能直观体现“商”和“余数”，还能加深学生对数与量的理解。

反思： 操作材料的选择要与学生的认知发展阶段相匹配，并要注重从具象到半具象（图示），再到抽象符号的平滑过渡。不是为了用而用，而是要用得其所，用得有效。

2. 故事化教学与问题链设计：

枯燥的计算难以激发学生的学习热情，我开始尝试将每一个知识点融入生动的故事和富有挑战性的问题链中。

创设情境： 每次引入新知识或进行练习时，都从一个贴近学生生活的故事开始，如“小兔分萝卜”、“班级大扫除分配任务”等。让学生在故事中自然而然地产生解决问题的需求。

设计问题链： 针对一个情境，设计一系列由浅入深、环环相扣的问题。例如，从“有多少个？”——“能分几份？”——“还剩多少？”——“如果剩下这些也想分完，该怎么办？”（引入分数/小数概念）——“如果要把所有东西都分完，需要多少份？”（向上取整）——“如果只能用完整的一份来算，能分多少份？”（向下取整）。这样的问题链能够引导学生进行深度思考，并全面理解商和余数的意义及应用。

反思： 故事和问题链的设计要真实可感，能够引发学生的共鸣。问题要具有启发性，能够引导学生从不同角度思考，而不是简单地给出答案。

3. 强调逆运算思维：检查与验证的习惯培养：

“被除数 = 除数 × 商 + 余数”不仅是理解除法本质的公式，更是检查计算结果的有效工具。

教学方法： 在每次计算练习后，我都要求学生利用这个公式进行验证。这不仅仅是简单的验算，更是帮助学生理解除法和乘法、加法之间的内在联系。

错误分析： 当学生计算出现错误时，我会引导他们利用验算公式找出错误所在，是乘法算错了？还是加法算错了？亦或是余数大于除数了？通过自我检查和纠正，培养学生的批判性思维和自我修正能力。

反思： 验算的习惯需要长期培养。初期可以作为强制要求，后期则要内化为学生自主学习和解决问题的一种策略。

4. 分层教学与差异化支持：

班级中的学生学习能力参差不齐，单一的教学模式难以满足所有人的需求。

分层练习： 根据学生的掌握程度，设计不同难度梯度的练习。基础题确保所有学生都能完成，巩固基本概念和技能；提高题则挑战学生的思维，拓展应用能力。

小组合作： 鼓励学生进行小组合作学习，让能力强的学生带领能力弱的学生，通过互相讲解、互相讨论，共同进步。教师在小组巡视时，要特别关注各小组的互动情况，及时提供指导。

个别辅导： 对于学习困难的学生，提供一对一或小范围的个别辅导，找出其具体困难点，进行有针对性的补救教学。对于学有余力的学生，则提供更具挑战性的拓展学习任务。

反思： 分层教学并非“贴标签”，而是为了更好地满足每个学生的学习需求，让他们在各自的“最近发展区”内获得提升。关键在于教师对学生学习状况的精准评估和灵活调控。

5. 错误分析：从惩罚到学习契机：

对待学生的错误，我的态度从“找出并纠正”转向“分析并利用”。

引导分析： 当学生出现错误时，不急于直接告诉正确答案，而是引导学生思考：“你是怎么想的？这个结果意味着什么？有没有可能再分一次？”

归纳总结： 将学生常犯的错误类型进行归纳总结，在班级中进行集体讨论，让大家从别人的错误中学习，避免重蹈覆辙。例如，针对“余数大于除数”的错误，可以集中展示几个案例，让学生讨论哪里出错了，并总结出避免这类错误的方法。

反思： 错误是学生学习过程中的宝贵资源。教师应利用错误，将其转化为学生深入理解知识、提升思维能力的契机。这需要教师具备耐心和专业的错误诊断能力。

6. 教师提问的艺术与认知负荷管理：

有效的课堂提问和合理的认知负荷设计，是提高教学效率的关键。

高阶提问： 除了“是什么”、“怎么做”的问题，我更多地尝试“为什么”、“如果是这样会怎样”、“这和我们之前学过的什么有联系”等开放性、探究性问题，激发学生的深度思考。

认知负荷管理： 意识到有余数的除法涉及多个步骤和概念（乘法、减法、估算、比较），我会有意识地将教学内容分解成小块，逐步呈现，并在每个小块之间留有消化和练习的时间。例如，先重点练习估商，再练习减法和比较，最后整体串联。

反思： 教师的提问是引导学生思维走向的关键，问题设计得当，能有效驱动学生的学习。同时，要时刻关注学生的认知负荷，避免信息过载导致学习效率下降。

四、算法教学的精雕细琢：深入竖式背后的数学逻辑

竖式计算是学生学习有余数的除法的重要环节，但其教学绝不能停留在“分、乘、减、比、落”的机械记忆，而应深入揭示其背后的数学逻辑和位值原理。

1. 逐步引入竖式：从具象到符号化的桥梁

在引入竖式之前，学生应通过大量的实物操作和图示，对除法的意义和有余数的概念有充分的理解。竖式是这些操作和思维过程的抽象和简化。

初始阶段： 先用简单的、一位数除以一位数或两位数且商为一位数的算式，如“7 ÷ 2”，引导学生用实物分一分，然后尝试用竖式记录下来。让竖式的每个数字和符号都与具体的“分”的动作和结果相对应。

位值渗透： 随着数字变大，如“35 ÷ 4”，在竖式中，要明确指出商的每一位是做什么的。例如，先用十位上的“3”除以4，不够除，说明商的十位是0，即3个十不能分出完整的4个十。然后将3个十和5个一合起来，变成35个一，再用35除以4。强调除法的顺序是从高位向低位进行。

反思： 竖式教学是一个循序渐进的过程，不能操之过急。每个步骤的引入都要有充分的铺垫和解释，让学生明白“为何要这样写”，而不是“只能这样写”。

2. 位值原理在竖式中的体现：

竖式计算的每一步都与位值原理紧密相关，理解这一点是避免计算错误和加深理解的关键。

商的定位： 商的每一位要对准被除数的相应位。例如，在计算“75 ÷ 3”时，先用7个十除以3，商2个十，这个“2”要写在十位上。如果写在个位，就混淆了位值。

乘法结果的意义： 在“分、乘、减、比、落”中，“乘”的步骤（商×除数）得到的结果，代表的是被除数中已被成功分掉的部分。例如，75 ÷ 3，商2（十），2×3=6（十），这个“6”代表已经分掉了60。

减法结果的意义： “减”的步骤（被除数当前位 – 乘法结果）得到的差，代表的是当前位还未分掉的剩余部分。例如，7（十）- 6（十）= 1（十），表示还剩下1个十未分。

“落”的含义： “落”下下一位数字，实际上是将高位未分完的余数与低位数字合并，重新作为一个整体进行下一轮的除法。1个十和5个一合起来是15个一，再用15个一除以3。

反思： 位值原理是整个竖式计算的灵魂。在教学中，要反复强调每个数字在不同位置所代表的实际意义，通过提问“这个2写在哪儿？为什么写在那儿？”、“这个6代表多少？”来帮助学生理解。

3. “分、乘、减、比、落”循环的意义解读：

这个口诀是竖式计算的流程，但更重要的是理解其内在逻辑。

分（Divide）： 用被除数当前位（或合并后）的数除以除数，估算出商。这是尝试分配的过程。

乘（Multiply）： 将估算的商乘以除数，得到已分配的总量。这是检验估商是否准确，以及确认实际分掉多少的过程。

减（Subtract）： 从被除数当前位（或合并后）的数中减去已分配的总量，得到剩余未分配的部分。这是计算余数的过程。

比（Compare）： 将得到的余数与除数进行比较，确保余数小于除数。这是关键的校验步骤，如果余数大于或等于除数，说明商估小了，需要重新估商。

落（Bring Down）： 将被除数的下一位数字落下来，与余数合并，形成新的被除数，重复上述步骤。这是继续分配，从高位到低位逐级分配的过程。

反思： 对每个步骤进行深入解读，并强调其之间的逻辑关联性，而非孤立地记忆。例如，“比”这一步是纠正错误、深化理解“余数小于除数”概念的最佳时机。

4. 商中零的处理与易错点：

商中出现零是学生常犯错误的地方，需要特别强调。

情况一：中间有零。 例如，“804 ÷ 4”。先用8个百除以4，商2个百。接下来用0个十除以4，商0个十。学生容易跳过这一步，直接将4落下来。要强调，即使是0也要除，因为0也占据着一个位值。

情况二：末尾有零且有余数。 例如，“81 ÷ 4”。先用8个十除以4，商2个十。剩下1个一，除以4，不够除，商0个一，余1。学生容易直接写成2余1，而忽略了商的个位是0。

深层原因： 学生对“0除以任何非零数都得0”的理解不深，或对位值概念的模糊。

教学反思： 运用大量的对比练习，将有零和无零的算式进行对比。同时，继续使用位值图和实物操作来解释，例如，804元钱分给4个人，先分百位上的800元，每人得200元。再分十位上的0元，每人得0元。最后分个位上的4元，每人得1元。这样，商的每一位都有其对应的实际意义。

五、教学反思的深度与广度拓展：教师专业成长的永恒课题

有余数的除法教学，不仅是对学生数学能力的培养，更是对教师教学智慧和专业素养的持续挑战和提升。我的第二次反思，将视角投向更广阔的教育维度。

1. 教师角色的再定位：知识传授者与学习引导者

传统的教学模式中，教师更多地扮演着知识的传授者。然而，在有余数的除法这种概念性较强的知识领域，教师更应成为学生学习的引导者、促进者和探究的同伴。

放手让学生探索： 提供丰富的学习材料和情境，鼓励学生通过动手操作、合作讨论去发现规律，而不是直接告知结论。

倾听学生的想法： 学生的错误和独特的思考方式，往往是教师深入了解学情、调整教学策略的重要线索。

激励与支持： 营造一个安全、开放的课堂氛围，鼓励学生大胆尝试，不怕犯错，并对他们的每一点进步给予肯定。

反思： 教师要从“讲台中央”走向“学生中间”，用提问代替讲解，用观察代替评判，用引导代替指令，真正实现“以学生为中心”的教学理念。

2. 培养学生的数学思维与问题解决能力：

学习有余数的除法，不仅仅是掌握一种计算方法，更重要的是培养学生的数学思维，包括逻辑思维、推理能力、应用能力等。

建模思想： 引导学生将现实问题抽象为数学模型（除法算式），并对模型进行求解，再将结果回归现实情境进行解释。

策略选择： 面对问题，鼓励学生思考多种解决策略，如实物操作、画图、列算式等，并比较不同策略的优劣。

批判性思维： 培养学生质疑和反思的习惯，对计算结果、对他人观点进行审视和评估。

反思： 数学教育的终极目标是培养具有数学素养的人。因此，在具体的知识点教学中，我们必须时刻关注如何通过这些知识点来发展学生的数学思维和解决问题的能力。

3. 情感因素在数学学习中的作用：

很多学生对数学抱有恐惧或厌恶情绪，这严重阻碍了他们的学习。有余数的除法由于其一定的复杂性，更容易让学生产生挫败感。

建立积极的学习体验： 通过生动有趣的情境、游戏化的教学方式、成功解决问题的喜悦，让学生感受到数学的乐趣和成就感。

容许和接纳错误： 营造宽松的课堂氛围，让学生敢于尝试，不怕犯错，将错误视为学习的机会。

个体差异的尊重： 认识到每个学生的学习速度和方式不同，给予足够的耐心和支持，不进行简单粗暴的比较。

反思： 学习是一个涉及认知与情感的复杂过程。教师不仅要关注知识的传授，更要关注学生的情感体验，帮助他们建立学习数学的自信和兴趣。

4. 持续性评估与反馈机制：

有效的评估和及时反馈是教学改进的驱动力。

形成性评估： 在教学过程中，通过课堂观察、提问、小组讨论、小练习等方式，持续了解学生的学习状态和理解程度。

诊断性评估： 针对学生普遍存在的难点和误区，设计专项测试，精准诊断问题所在。

多元化反馈： 除了分数，更要提供具体、建设性的反馈意见，指出学生的优点，并给出改进方向。鼓励学生进行自我评估和同伴评估。

反思： 评估不仅仅是检验学习结果，更是促进学习过程的有力工具。教师要善用评估，将其融入日常教学，形成“评估-反馈-改进”的良性循环。

5. 未来展望：连接高阶数学思维

有余数的除法，作为小学阶段的一个核心知识点，其教学的成功与否，直接影响着学生后续数学学习的深度和广度。

与分数小数的无缝衔接： 在教学中，要有意识地提及余数如果继续分会变成什么，为将来分数、小数的学习做好铺垫。

代数思想的启蒙： “被除数 = 除数 × 商 + 余数”这一等式，可以引申出简单的未知数问题，如“一个数除以7，商是5，余数是3，这个数是多少？”让学生初步感受代数魅力。

问题解决能力的持续培养： 随着知识的深入，引入更多复杂的、多步骤的问题解决任务，让学生在解决问题的过程中，不断整合所学知识，提升综合能力。

反思： 教学不应只看眼前，更要放眼未来。有余数的除法的教学，应是为学生搭建一座通向更广阔数学世界的桥梁，而非一个孤立的知识点。教师要有全局观，将当前知识与未来知识进行有效链接。

结语

“有余数的除法教学反思2”是一次更深层次的自我审视与教学重构。它让我意识到，看似简单的知识点，其背后蕴含着丰富的数学思想和深刻的教育哲理。优秀的教学，并非一蹴而就，而是在一次次实践、一次次反思、一次次迭代中，不断接近教育的本真。未来，我将继续秉持这份对教育的热爱与敬畏，在教学的道路上，不断探索，持续精进，努力成为学生学习的真正引导者和促进者，帮助他们在数学的海洋中扬帆远航。