除法和加减法教学反思

小学数学教学，特别是对加减法和除法这些核心运算的教学，是构建学生数学思维大厦的基石。作为一名长期耕耘于教学一线的教师，我对这些基础运算的教学有着深刻的反思。它们看似简单，实则蕴含着丰富的数学思想和认知挑战。若教学不得法，学生便可能停留在机械记忆和操作层面，而非真正理解其内在逻辑和应用价值，这将为他们后续的数学学习埋下隐患。

一、加减法教学的反思：从具象到抽象的阶梯构建

加减法是学生接触最早的数学运算，其教学的成功与否直接影响学生对数感和运算意义的初期建构。我的反思集中在以下几个方面：

1. 概念理解的深度与广度：

早期加减法的教学，我曾倾向于过快地引入算式和符号，以为学生只要能算出结果就是掌握了。然而，随着教学经验的增长，我意识到“加”不仅仅是“合起来”，“减”也不仅仅是“拿走”。加法概念应涵盖“合起来”（聚合模型）、“增加”（增量模型）以及“求总数”等多种情境；减法概念则包括“拿走”（带走模型）、“剩下多少”（剩余模型）、“比较多少”（比较模型）和“求另一部分”（缺失模型）等。

例如，在教授减法时，学生通常更容易理解“我有5个苹果，吃了2个，还剩几个？”（拿走模型）。但对于“我有5个苹果，小明有2个，我比小明多几个？”（比较模型）或“我有5个苹果，其中有2个红色的，剩下的是绿色的，绿色苹果有几个？”（缺失模型），学生往往会感到困惑，甚至不知道用减法。

反思： 这要求教师在教学初期就尽可能多地呈现不同类型的语境，利用具体的实物、图片或情境故事，让学生在丰富的表征中感知加减法的多样化含义。仅仅会列式计算，而不能根据实际问题选择合适的运算，说明其对概念的理解深度不足。我开始更加强调情境创设和语言表达，鼓励学生用自己的话解释算式与实际情境的对应关系。

2. 策略多样性的培养：

学生学习加减法，不应只局限于某一种计算方法。从“数一数”、“接着数”到“凑十法”、“破十法”，再到利用数轴、百数表等工具，每一种策略都有其独特的思维价值。

我曾发现有些学生在进行大数加减时，仍然停留在“掰手指头”的阶段，或是对“凑十法”一知半解，机械模仿。究其原因，往往是教师在引入新策略时，未能充分揭示其背后的数学原理和便捷性，或没有给予学生足够的时间去探索和选择。

反思： 策略的教学应是一个循序渐进、允许探索的过程。

初期： 允许学生使用任何他们能理解和操作的方法（如实物计数、画图、手指）。

引导： 在此基础上，通过提问和引导，帮助学生发现更高效的策略（如“凑十法”为何比“接着数”更快更准）。例如，在教“9+几”时，与其直接告诉学生“凑十法”，不如引导他们思考：“9离10差多少？可以从另一个数里分出1给9，这样就凑成了10，剩下的再加起来就容易多了。”让学生体会到“凑十”的便捷性。

比较与选择： 鼓励学生比较不同策略的优劣，并根据数字特点选择最适合的策略。例如，对于“18+3”，有的学生可能更喜欢“18+2=20，20+1=21”，有的则可能直接心算。重要的是，他们能说出选择的理由。

深度剖析： 策略多样性的培养不仅仅是为了计算效率，更重要的是培养学生的灵活性和问题解决能力。它体现了数学思维的开放性和创造性，避免了学生对单一算法的路径依赖，为未来更复杂的运算打下基础。

3. 多位数加减法的核心——位值原理：

进入多位数加减法，特别是涉及进位和退位（借位）时，位值原理（place value）的理解是关键中的关键。我曾遇到大量学生在列竖式计算时，机械地进行“加1”、“借1”，却不明白其本质是“满十进一”和“拆十退一”，即10个一等于1个十，1个十可以拆成10个一。

例如，计算“35 + 8”，学生可能直接写成“35+8=43”。但如果问他们为何个位相加5+8=13，要写3进1，很多学生只是记住规则，而无法解释“进的这个1”代表什么。同样，在“42 – 7”的退位减法中，“向十位借1”其实是“从十位拿出1个十，变成10个一”，与原来个位的2合起来是12个一再减7。

反思： 如果学生对位值没有深刻理解，那么竖式计算就变成了“空中楼阁”。

具象操作不可或缺： 在引入多位数加减法时，必须充分利用计数器、小棒捆（十位捆）、积木（百位板）等直观教具，让学生亲自动手操作，体验“满十进一捆”和“拆开一捆换十根”的过程。

语言描述的精确性： 引导学生用准确的数学语言描述他们的操作，例如，“个位5加8得13，13是1个十和3个一，把3写在个位，把1个十进到十位上。”

与估算结合： 鼓励学生在计算前先进行估算，例如“35+8，大约是四十多”，计算后用估算结果检验答案的合理性。这不仅能提高计算的准确性，还能加深对数的大小的感知。

深度剖析： 位值原理的教学是培养学生抽象思维能力的重要环节。它将具体的计数经验上升到符号化的运算规则，是学生理解数学系统性和结构性的关键。若此环节缺失，学生后续学习小数、分数乃至代数运算都可能面临理解障碍。

二、除法教学的反思：从平均分配到等份包含的意义建构

除法是四则运算中概念最为复杂、学生理解难度最大的一个。其教学的挑战性在于，它不仅包含两种基本含义（均分与包含），还涉及余数的概念以及与乘法、减法的内在联系。

1. 除法概念的多元化理解：

我发现学生在学习除法时，最常见的误区就是将其简单地理解为“平均分”。例如，“12个苹果，平均分给3个小朋友，每个小朋友分几个？”（均分或等份除）。但当面对“12个苹果，每3个装一盘，可以装几盘？”（包含除或测量除）时，很多学生就不知道该用除法了。

反思： 除法的两种基本含义（等份除/平均分/Partitive Division 和 包含除/测量除/Quotative Division）必须在教学初期就明确区分并反复操练。

均分除： 知道总数和份数，求每份的数量。教学时，通过“分一分，圈一圈”等活动，让学生体会到“每份一样多”的含义。例如，画12个圆，分成3组，看每组几个。

包含除： 知道总数和每份的数量，求份数。教学时，通过“圈一圈，数一数”等活动，让学生体会到“里面有几个几”的含义。例如，画12个圆，每3个圈起来，看能圈几组。

情境对比： 刻意设计对比性的问题情境，让学生辨析两种除法的应用场景，并用不同的方法表征（画图、操作），帮助他们建立清晰的认知。

深度剖析： 对除法两种含义的理解，是学生未来解决复杂应用题、理解比和比例、甚至函数关系的基础。如果学生只能识别均分除法，就如同瘸腿走路，其数学思维的完整性会受到严重影响。这不仅仅是词语的区别，更是思维模型的差异。

2. 余数概念的深度解析：

余数是除法中一个独特的概念，也是学生理解的难点。很多学生能够机械地算出余数，却不明白“余数是什么”、“为什么会有余数”、“余数与除数的关系”以及“如何在实际问题中解释余数”。

反思： 余数的教学不能仅仅停留在“除不尽就剩下”的表面，必须深挖其数学本质和应用意义。

具象引入： 通过实物操作，让学生亲身经历“分不完”的体验。例如，13根小棒分给3个小朋友，每人4根，还剩1根。这个“剩1根”就是余数。

数学关系揭示： 强调“余数必须比除数小”这一关键性质。通过反例或追问“如果余数比除数大或等于除数会怎么样？”来强化学生的理解，让学生明白如果余数大于等于除数，说明还可以再分，结果就不是正确的商和余数。

实际意义的探讨： 尤其重要。在解决实际问题时，余数的处理方式并非一成不变，它取决于具体语境。

忽略余数： “20个苹果，每3个装一盒，可以装几盒？”（答案是6盒，余下的2个苹果通常不装盒）。

进一法： “20个人坐车，每辆车坐3人，至少需要几辆车？”（答案是7辆车，因为即使余下的人也要一辆车）。

去尾法： “20米布，每3米做一件衣服，可以做几件衣服？”（答案是6件，余下的2米布不够再做一件）。

保留余数： “20支铅笔平均分给3个同学，每人几支，还剩几支？”（答案是每人6支，还剩2支）。

深度剖析： 余数的教学是培养学生数学应用能力和批判性思维的绝佳机会。它迫使学生跳出单纯的计算，思考数学结果在现实世界中的解释和取舍，体现了数学与生活的紧密联系。对余数的深刻理解，也是未来学习小数除法和分数除法的基础。

3. 长除法算法的理解与掌握：

长除法无疑是小学数学的“难关”之一，其“试商、乘、减、拉”的步骤环环相扣，对学生的计算能力、位值理解和逻辑推理能力要求极高。我曾发现许多学生在学习长除法时，要么卡在试商，要么混淆步骤，导致错误频发。

反思： 长除法的教学必须慢下来，分步骤，重理解，而非急于求成。

与乘除法关系的回顾： 在教授长除法前，务必强化乘除互逆的观念和口算能力。长除法本质上是“不断地从被除数中减去除数若干倍”的过程，也是“被除数里有几个除数”的探寻。

分步解析：

试商的艺术： 试商是长除法的核心，需要估算能力。从两位数除以一位数开始，引导学生用乘法口诀去“想”商。例如，68 ÷ 3，先看最高位6，6个十里面有几个3个十？大约是2个十。即商20。

位值对齐： 强调商的每一位数都对应着被除数的某一位，其意义是不同的。例如，商的十位上的“2”代表2个十。

乘法与减法的结合： 让学生理解“乘”是为了算出“分掉的部分”，“减”是为了算出“还剩下多少”。

“拉下来”的含义： 并不是凭空拉下来，而是将低位的数与高位剩下的数合在一起，继续进行分配。

可视化的辅助： 面积模型是理解长除法非常有效的工具。例如，一个长方形的面积是被除数，一边是除数，求另一边（商）。通过将大长方形分解成小长方形，可以形象地解释长除法的每一步。

错误分析： 鼓励学生分析自己的错误，找出问题症结，是试商不准？是乘法算错了？是减法算错了？还是位子没对齐？通过错误分析，更能巩固理解。

深度剖析： 长除法不仅考验学生的计算技能，更训练了他们的分解、组合、迭代和精细化操作的能力。它是一个高度结构化的算法，其每一步都蕴含着严密的逻辑。深入理解长除法，对于培养学生的系统思维和解决复杂问题的能力具有不可替代的作用。

三、加减法与除法教学的共通反思与未来展望

在对具体运算教学进行反思的同时，我也提炼出了一些共通的教学原则，这些原则对于提升所有数学运算教学的质量都至关重要：

1. CPA原则（Concrete-Pictorial-Abstract）：

这是我教学中一直坚持的原则。无论是加减法还是除法，都应从具体可感的操作（Concrete，如实物、教具）开始，逐步过渡到直观的图像表示（Pictorial，如画图、图表），最终上升到抽象的符号运算（Abstract，如算式、竖式）。在这个过程中，学生建立起由浅入深、由具象到抽象的思维连接，使得符号不再是空洞的，而是有意义的。

2. 语言与交流的重要性：

数学语言是思维的载体。我发现，当学生能够用清晰、准确的语言描述他们的操作、理解和思考过程时，他们对知识的掌握就越牢固。因此，在课堂上，我鼓励学生多说、多问、多辩。例如，在加减法中，引导他们说出“进位”、“退位”的含义；在除法中，让他们解释“商”、“余数”以及两种除法的区别。

3. 问题解决的导向：

将运算置于真实、有趣的问题情境中，是激发学生学习兴趣、理解运算意义的有效途径。数学运算不应是脱离实际的纯粹符号游戏，而应是解决生活中各种问题的工具。通过创设具有挑战性的情境问题，引导学生主动思考，选择合适的运算，这不仅能巩固知识，更能培养其应用能力。

4. 错误是宝贵的学习资源：

面对学生的错误，我不再仅仅是纠正，而是将其视为深入了解学生思维过程的窗口。通过引导学生分析错误的原因，是概念不清？是粗心大意？是计算失误？还是策略不当？这种错误分析的过程，本身就是一种高阶思维的训练，能帮助学生自我纠正，避免下次再犯。

5. 建立数学内部联系：

数学知识并非孤立存在，而是相互关联、构成一个严密的体系。加减法互逆、乘除法互逆、除法是乘法的逆运算，也是连减的简便形式。我在教学中会刻意强调这些内在联系，帮助学生构建完整的知识网络。例如，当学生不确定除法结果时，可以引导他们用乘法验算；当学生对乘法口诀不熟练时，可以通过加法来理解。

6. 培养数感与估算能力：

数感是数学学习的基础。在加减法和除法教学中，我越来越重视培养学生的估算能力。估算不仅仅是检验计算结果的手段，更是培养学生对数量关系、运算规律敏锐感知的重要方式。它能够帮助学生在进行精确计算前，对结果有一个大致的预期，从而有效避免离谱的错误。

展望未来，我深知数学教学是一个不断探索和完善的过程。 随着教育理念的更新和认知科学的发展，我们对学生学习过程的理解会更加深入。作为教师，我将继续致力于：

个性化教学： 关注每个学生的学习差异，提供更具针对性的指导和支持。

情境化学习： 创造更多与学生生活经验紧密结合的数学情境，让数学变得生动有趣。

技术辅助： 探索如何利用现代教育技术，为学生提供更丰富的学习资源和更直观的互动体验。

持续反思： 保持批判性思维，不断审视自己的教学实践，努力成为一名更优秀、更智慧的数学引路人。

加减法与除法的教学，远不止教会学生如何计算，更重要的是帮助他们理解这些运算背后的数学逻辑，培养解决问题的能力，以及建立对数学世界的初步认知。这是一项充满挑战也充满乐趣的工作，我将带着这份反思，继续在数学教学的道路上不断前行。