乘法结合律教学反思

乘法结合律，一个在小学数学阶段看似简单却蕴含深远数学思想的基础概念，其教学效果的好坏直接影响学生未来代数学习乃至更高级数学思维的发展。作为一名资深的数学教师，我多次审视自己在教授这一知识点时的得失，深感其教学并非仅仅停留在“告诉学生(a × b) × c = a × (b × c)”的层面，更应深入挖掘其背后的数学本质、思维价值与实际应用。在此，我将以“乘法结合律教学反思”为题，从多个维度进行深入剖析和自我审视。

一、 初识结合律：表面化教学的局限

我清晰地记得，在早期的教学实践中，我对于乘法结合律的教学，往往停留在一个相对表面化的层面。我可能会这样做：

1. 定义先行，例题验证：

   我会开门见山地向学生介绍：“乘法结合律是指三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，它们的积不变。用字母表示就是(a × b) × c = a × (b × c)。” 接着，我会举几个简单的例子，比如 (2 × 3) × 4 和 2 × (3 × 4)，让学生计算并比较结果，得出“积不变”的结论。

2. 强调记忆与套用：

   在随后的练习中，我会设计一系列题目，主要考验学生能否正确地将括号从前面移动到后面，或者反之，并计算出结果。重点放在“会用”这一形式，例如填空题：(5 × ) × 7 = 5 × ( × 7)，或是选择题：下列哪个算式运用了乘法结合律？

3. 少量生活情境：

   偶尔会引入一些简单的生活情境，如计算长方体的体积，(长 × 宽) × 高 = 长 × (宽 × 高)，或者计算多个物品的总价，但这些情境往往也是为了验证公式，而非真正引导学生发现和理解结合律。

这种教学方式的优点是效率高，学生能迅速掌握结合律的“形式”和“操作规则”。然而，经过多年的教学实践和对学生后续学习表现的观察，我深刻认识到这种表面化教学的局限性：

• 概念理解的肤浅化： 学生往往只记住了“括号可以移动”的表象，而未能真正理解结合律的本质——无论乘法运算中数字如何分组，最终的乘积是固定不变的。他们可能将其视为一个孤立的数学规则，而非一个可以简化计算、解决问题的强大工具。
• 迁移能力的缺失： 当遇到稍复杂的计算或问题时，学生往往无法灵活运用结合律。例如，在面对 25 × 37 × 4 这样的算式时，许多学生会按顺序计算，而不会主动将 25 和 4 结合起来，因为它与他们平时练习的“移动括号”的形式有所不同。这暴露了他们缺乏对结合律“简化计算”这一核心功能的认识。
• 思维发展的阻碍： 这种重记忆轻理解的教学，限制了学生发现、探究和创造性思维的发展。他们被动地接受知识，而不是主动地建构知识，从而错失了培养数学思维能力的机会。
• 与后续学习脱节： 当学生进入代数学习，需要进行多项式乘法、因式分解等操作时，如果对结合律的理解仅停留在表面，会造成思维障碍。例如，在 (x + y) z w = (x + y) (z w) 这样的代数表达式中，如果学生不能把 (x + y) 作为一个整体去思考，或者不理解为什么可以改变 z 和 w 的结合顺序，那么代数运算就会变得异常困难。

反思至此，我意识到，仅仅告诉学生“是什么”和“怎么做”是远远不够的，更重要的是引导他们理解“为什么”以及“何时何地”可以这样做。这促使我开始深入思考，如何才能将乘法结合律的教学变得更具深度、更易理解、更富有启发性。

二、 深度探究：结合律的数学本质与思维价值

要实现深度教学，首先教师自身要对结合律有更深刻的理解。乘法结合律绝不仅仅是“括号的移动”，它承载着丰富的数学内涵和重要的思维价值。

1. 本质：运算的不变性与群的初步体验

   从数学的本质来看，乘法结合律揭示的是乘法运算的一种“不变性”或“群的结构特征”。在多个数的连乘中，无论我们如何对操作数进行分组（即改变运算的次序），最终的结果都是相同的。这对于抽象代数中的“群”概念来说，是一个非常基础且重要的性质。对于小学生而言，虽然不需要引入“群”的概念，但我们可以通过直观的体验让他们感受这种“不变性”：

   • 数量的聚合： 想象有三层箱子，每层有2个大盒子，每个大盒子里有3个小球。
     • 先计算每层有多少小球：2 × 3 = 6 个。三层共有：6 × 3 = 18 个。 (2 × 3) × 3 = 18
     • 先计算总共有多少大盒子：3 × 2 = 6 个。每个大盒子有3个小球，总共有：6 × 3 = 18 个。 3 × (2 × 3) = 18 (这里实际上也用了交换律，但主要体现结合律对分组的影响)
     • 更直接的：有3个小组，每个小组有2排人，每排4个人。
       • 先算每个小组有多少人：2 × 4 = 8人。3个小组：8 × 3 = 24人。(2 × 4) × 3 = 24
       • 先算总共有多少排人：3 × 2 = 6排。每排4人：6 × 4 = 24人。3 × (2 × 4) = 24

         通过这样的具象化过程，学生能感受到，无论先算“每排的人数”再算“总人数”，还是先算“总排数”再算“总人数”，最终的人数总量是不变的。这正是结合律所体现的结构性不变。

2. 价值：优化计算策略，培养运算自觉性

   乘法结合律最大的实用价值在于它能够优化计算过程，使复杂的运算变得简单。例如，在计算 25 × 7 × 4 时：

   • 按顺序计算：25 × 7 = 175；175 × 4 = 700。
   • 运用结合律：25 × 7 × 4 = 25 × (7 × 4) = 25 × 28 (仍然不太好算)
   • 更巧妙的运用（结合交换律）：25 × 7 × 4 = 25 × 4 × 7 = (25 × 4) × 7 = 100 × 7 = 700。

     这里，结合律与交换律的协同作用，使得计算瞬间变得简洁。这不仅仅是技能的提升，更是思维方式的转变——从机械运算到自觉地寻求最优解。

     这种优化策略的培养，对于学生形成“数感”至关重要，它让学生在计算前会先观察数字特征，思考是否有更简便的方法，而不是盲目地从左到右计算。

3. 奠基：代数思维与抽象能力的萌芽

   乘法结合律是代数学习的基石之一。在代数式中，变量之间的乘法同样遵循结合律，例如 (xy)z = x(yz)。学生对结合律的深刻理解，有助于他们将这种分组思想迁移到代数式中，理解如何对代数项进行合并、展开和因式分解。

   更进一步，结合律训练了学生识别“整体”与“部分”的能力。当我们在 (25 × 4) × 7 中将 (25 × 4) 视为一个整体时，这正是一种初步的抽象思维。它要求学生将一个运算结果视为一个新的“数”，并在此基础上进行下一步运算。这种能力是未来学习更复杂数学概念，如函数、复合运算等不可或缺的基础。

深入理解了这些本质与价值后，我意识到，过去的教学过于强调表象和规则，而忽略了引导学生去感受、去发现、去体会这些深层的东西。这正是需要彻底改变的突破口。

三、 自我反思：过去教学中的失误与遗憾

回顾我过去的教学实践，除了上述的表面化教学，还有一些具体的失误和遗憾，值得我深入反思：

1. 情境创设的单一与不足：

   我虽然会使用一些情境，但往往是“为情境而情境”，并没有真正从学生的生活经验出发，创设那些能自然引出结合律、让学生主动探究的情境。例如，我可能直接给出长方体体积公式，让学生验证；而不是先让学生思考如何计算一个堆满了小方块的长方体总共有多少块，引导他们尝试不同的计数方法，从而发现结合律。

2. 过早引入抽象符号：

   在学生对具体操作和直观感受尚未充分建立之前，我有时会过早地引入字母表示 (a × b) × c = a × (b × c)。这对于一部分具象思维较强的学生来说，增加了理解的难度，使他们将结合律看作是抽象的符号游戏，而不是真实世界中数量关系的反映。

3. 缺乏“错误”和“非例子”的探讨：

   我很少引导学生去思考“为什么有些运算不满足结合律？”例如，除法和减法不满足结合律。如果我能让学生尝试计算 (12 ÷ 2) ÷ 3 和 12 ÷ (2 ÷ 3)，比较结果的差异，他们就会对“结合律”的适用范围有更清晰的认识，从而加深对结合律本身的理解。这种对比学习是深化理解的有效途径。

4. 学生主体地位的忽视：

   在课堂上，我更多地扮演了知识的“传授者”，而非学习的“引导者”。我倾向于直接给出结论，然后通过练习巩固，而缺乏给学生足够的探索时间、讨论空间和犯错机会。学生在我的课堂上，更多地是“听”和“做”，而不是“想”和“说”。这使得他们失去了自主建构知识的宝贵机会。

5. 缺乏与其它知识的深度联系：

   我曾将结合律视为一个独立的知识点进行教学，没有充分展现它与乘法交换律、分配律等其他运算定律的协同作用。例如，在简化计算中，往往需要结合律和交换律的联合使用才能达到最佳效果，而我很少在教学中系统地强调这一点，导致学生在面对综合性问题时，无法灵活运用多种策略。

6. 作业设计缺乏梯度与启发性：

   我的作业往往是重复性的、计算性的，缺乏引导学生思考、分析和解决问题的题目。例如，我可能只会出一些直接套用结合律的计算题，而很少设计“请你用两种方法计算，并说说哪种方法更简便？”或“请你编一个能用乘法结合律解决的实际问题”这样的开放性、启发性题目。

这些反思让我深感遗憾，因为我错失了许多让学生更深入理解数学、爱上数学的机会。但同时，它们也为我未来的教学指明了方向，促使我重新构建乘法结合律的教学策略。

四、 教学重构：走向深度与易懂的实践路径

基于上述反思，我开始着手重构乘法结合律的教学策略，力求在深度和易懂之间找到最佳平衡点，让学生不仅知其然，更知其所以然。

1. 情境导入与问题驱动：从生活走向数学

   • 创设真实情境： 不再是抽象的“三个数相乘”，而是从学生身边可感知的具体事物入手。例如，组织一次“计算物品总数”的活动。
     • 情境一：学校要采购小凳子，每个班3排，每排4张，全校有5个班。请同学们算算一共需要多少张凳子？
     • 情境二：小明去超市帮妈妈买零食，发现有一种饼干，每包有3袋，每袋有4小块，他买了5包。他一共买了多少小块饼干？
   • 引导多种计算方法： 鼓励学生用不同的方法解决问题，并记录下算式。
     • 方法一：先算一个班有多少张凳子 (4 × 3 = 12)，再算5个班一共多少张 (12 × 5 = 60)。写出算式：(4 × 3) × 5。
     • 方法二：先算5个班总共有多少排 (5 × 3 = 15)，再算15排有多少张凳子 (15 × 4 = 60)。写出算式：4 × (3 × 5) (这里先用交换律把4移到前面更容易理解)。
     • 方法三：先算5个班总共有多少个4张凳子 (5 × 4 = 20)，再算每排的3张凳子 (20 × 3 = 60)。写出算式：(4 × 5) × 3。
   • 观察与比较： 让学生比较不同算式的结果，发现它们都相等。引导他们思考：为什么结果都一样？尽管运算顺序不同，但总数没有改变。初步感受乘法结合律的存在。

2. 具象操作与直观理解：从操作到概念

   • 借助学具： 使用小棒、积木、圆片等学具，模拟乘法运算。
     • 例如，用小棒摆出 3 组 (2 根小棒 × 4 组)。
     • 先算每组有多少：2 × 4 = 8 根。3 组：8 × 3 = 24 根。(2 × 4) × 3
     • 再算总共有多少个“2根”：3 × 2 = 6 个。每个“2根”对应4次：6 × 4 = 24 根。 3 × (2 × 4) (这里要强调是把3个2捆绑在一起看作一个整体，再乘以4)
     • 三维模型： 对于长方体体积的计算，可以利用乐高积木或小方块堆叠，让学生亲自搭建和拆分，从不同角度数出总块数，直观感受 (长 × 宽) × 高 = 长 × (宽 × 高) 的等价性。这比单纯的公式验证更具说服力。
   • 可视化呈现： 运用图片、动画等多媒体资源，动态演示不同分组方式下积的保持不变。例如，一个网格图，3行2列，每格里有4个点，演示先计算每行多少点 (2×4)，再计算3行总点数 (3×(2×4))，与先计算总格数 (3×2)，再计算总点数 ((3×2)×4)。

3. 抽象概括与符号表示：从具象到抽象

   • 引导归纳： 在大量具体例子和操作的基础上，引导学生总结发现，无论三个数如何分组相乘，结果都不变。
   • 引入字母： 在学生对概念有了深切体会后，再引入 (a × b) × c = a × (b × c) 这样的字母表示，此时字母不再是空洞的符号，而是代表着他们已经理解的“任意的数”，从而更容易接受和理解。
   • 强调“任意性”： 明确告诉学生，a、b、c 可以是任何数，这样可以帮助他们将具体经验推广到一般情况。

4. 优化计算与策略运用：从理解到应用

   • 简便计算的专项训练： 不仅仅停留在“填空”或“判断”，而是设计大量需要运用结合律进行简便计算的题目。
     • 例如：125 × 7 × 8，引导学生观察数字特征 (125 × 8 = 1000)，从而主动将 125 和 8 结合起来。
     • 要求学生说出简便计算的思路，强调“为什么要这样算？”，“这样算有什么好处？”。
   • 与交换律、分配律的融合： 引导学生认识到运算定律不是孤立的，它们常常协同工作。
     • 例如：25 × 13 × 4，学生可能会先用交换律将 4 移到 25 旁边，再用结合律将 (25 × 4) 结合。这是一种更高级的策略运用。
   • “智慧选择”练习： 设计一些题目，让学生判断是否可以运用结合律进行简便计算，如果可以，如何运用；如果不可以，为什么。这有助于培养学生的批判性思维和问题解决能力。

5. 变式训练与拓展延伸：从单一到多元

   • 多于三个数的乘法： 引导学生思考，如果四个数相乘，结合律是否依然适用？(a × b) × (c × d) = a × (b × c) × d 等。
   • 探究“非例子”： 引导学生尝试计算 (10 – 5) – 2 和 10 – (5 – 2)，(12 ÷ 6) ÷ 2 和 12 ÷ (6 ÷ 2)，比较结果，从而理解减法和除法不满足结合律，加深对结合律适用范围的理解。
   • 挑战性问题： 例如，给出一系列数字和乘号，要求学生添加括号，使得计算结果最大或最小（在保证不改变数字顺序的前提下）。这虽然可能涉及更复杂的思维，但有助于激发学生的兴趣和深度思考。

6. 评价机制的改革：从结果到过程

   • 过程性评价： 关注学生在探索、讨论、表达过程中的参与度、思考深度和语言组织能力。
   • 多元化评价： 不仅看计算结果是否正确，更要看学生是否能够解释运算策略，是否能够将结合律应用于新的情境。
   • 学生互评与自评： 鼓励学生互相批改作业、评价解题思路，并反思自己的学习过程。

五、 挑战与展望：持续深耕，螺旋上升

尽管我对乘法结合律的教学进行了深入反思和策略重构，但在实际操作中，依然面临一些挑战和值得持续深耕的领域：

1. 教学时间的平衡： 深度教学往往需要更多的时间和耐心。如何在有限的课时内，既保证知识的广度，又兼顾深度，是一个持续的挑战。这要求教师更加精炼教学设计，提高课堂效率，并有效利用课后时间。
2. 学生个体差异的关注： 班级中学生的认知水平、学习风格各不相同。如何设计弹性化的教学活动，既能激发学优生的深度思考，又能帮助学困生扎实理解基础，是需要不断探索的问题。分层教学、小组合作学习等策略将继续发挥重要作用。
3. 教师专业素养的持续提升： 深度教学离不开教师自身对数学知识的深刻理解和对教学艺术的精湛把握。我需要不断学习新的教育理论，吸收先进的教学经验，反思自己的教学实践，使教学能力螺旋式上升。
4. 与信息技术的深度融合： 随着教育信息化的发展，如何利用VR/AR、交互式白板、编程等技术，创设更具沉浸感和探索性的学习环境，让抽象的数学概念变得更加生动具体，是未来教学的重要方向。例如，通过编程小游戏让学生体验不同分组的计算过程和结果。
5. 家校合作的深化： 乘法结合律的理解和运用，需要在家庭环境中得到巩固和延伸。如何与家长有效沟通，引导他们在家中通过游戏、日常计算等方式，帮助孩子理解和应用运算定律，是提升教学效果的重要一环。

结语

乘法结合律的教学反思，对我而言，不仅仅是对一个数学知识点的回顾，更是对整个数学教育理念的深刻审视。它让我明白，教育的价值不在于教授多少知识点，而在于点燃学生探索知识的火花，培养他们独立思考、解决问题的能力，以及对数学美的欣赏。从“告知”到“引导发现”，从“记忆”到“理解应用”，从“单一”到“多元融合”，每一次教学的重构，都是一次与自我观念的搏斗，也是一次向更高教育境界的迈进。未来的教学之路，我将继续秉持这份反思精神，不断学习、实践、创新，力求让每一个数学概念都能在学生心中扎下深根，开出智慧之花。