退位减法的教学反思

退位减法，作为小学数学低年级阶段的核心内容之一，其教学质量直接影响学生对后续多位数运算、小数和分数运算乃至代数思维的建立。它不仅是简单的计算技能训练，更是对数位概念、加减法逆运算、数的组成与分解等基础知识的综合检验与应用。然而，在实际教学中，退位减法往往也是学生普遍感到困惑、错误率较高的一个知识点。作为一名数学教师，我对退位减法的教学进行了深入的反思，旨在探究其教学难点、常见问题及有效的教学策略，以期提升教学效果，真正帮助学生实现从“会算”到“懂算”的转变。

一、退位减法的核心难点与教学挑战

退位减法之所以成为一个教学难点，主要在于它与不退位减法在思维模式上存在本质差异，并对学生的多重认知能力提出了更高的要求。

1. 概念的抽象性与理解的复杂性：

不退位减法（如38-5）通常是“个位减个位，十位减十位”，直接对应数位上的数量关系。但退位减法（如32-7）则面临个位不够减的情况。此时，学生需要理解“从十位‘借一’（或‘退一’）到个位当‘十’，十位上的数减一，个位上的数加上‘十’再减”这一复杂过程。这里的“借”或“退”并非简单的物理挪动，而是基于十进制位值原理的“重组”或“再分解”。例如，将一个十位上的“1个十”看作个位上的“10个一”，这个抽象的转化过程，对于处于具体运算思维阶段的小学生来说，是一个巨大的挑战。他们需要理解一个数可以有不同的表示形式（如32可以看作3个十和2个一，也可以看作2个十和12个一），这要求学生具备灵活的数感和位值理解。

2. 对基础知识的综合要求高：

退位减法不仅仅考察减法计算，更是对以下基础知识的综合运用：

位值概念： 深刻理解每个数位上的数字代表的实际意义（如十位上的3表示3个十）。

数的组成与分解： 能够熟练地将一个数分解成不同的形式（如12可以分解成10和2）。

10以内加减法（特别是凑十法和破十法）： 退位后的个位减法通常是10以上的数减去一位数，这要求学生熟练掌握“破十法”原理（如12-7，想到10-7=3，3+2=5）。

加减法之间的逆运算关系： 验算时用到加法，也间接强化了对加减法互逆关系的理解。

3. 运算步骤的多样性与记忆负担：

在教学初期，为了帮助学生理解，通常会引入多种方法，如“破十法”（个位不够减，从十位退1作10，与个位上的数合起来再减）、“平十法”（将被减数分解，先减去一部分使个位变成10，再减剩余部分）等。虽然这些方法有助于理解，但对于一些学生而言，过多的方法可能导致混淆，增加了记忆和选择的负担。一旦学生仅仅停留在模仿和记忆步骤，而非理解其数学原理，就容易在面对稍复杂的问题时出现错误。

4. 连续退位减法的挑战：

当减法涉及到百位、千位甚至更高位时，可能会出现连续退位的情况（如302-15）。这不仅增加了运算步骤，更对学生的注意力、短时记忆和多步推理能力提出了更高要求。在处理连续退位时，学生需要同时关注多个数位的变化，稍有不慎便会出错。

二、概念构建：从具象到抽象

为了有效突破退位减法的教学难点，教学过程必须遵循学生认知发展规律，从具象操作入手，逐步过渡到半具象的图示，最终实现抽象符号的掌握。

1. 创设情境，激发需求：

教学伊始，应创设贴近学生生活实际的情境，让学生在解决问题中自然而然地感受到退位减法的必要性。例如，用“买玩具”、“分糖果”等场景，提出类似“小明有32元钱，想买一个7元的玩具，还剩多少钱？”的问题。在尝试用不退位减法思路解决时，学生会发现个位2不够减7，从而产生疑问，激发他们探索新方法的欲望。

2. 借助学具，具象操作（CPA中的Concrete）：

这是构建退位减法概念的核心环节。常用的学具有：

小棒（捆和根）： 教师可以带领学生拿出3捆和2根小棒来表示32。当要减去7根时，发现2根不够。这时，引导学生将一捆十根的小棒“解开”，变成10根散装小棒。此时，学生手中的小棒变成了2捆和12根散装小棒。再从12根中拿走7根，数一数剩下多少。通过实际操作，学生能直观地看到“1个十变成10个一”的过程，以及十位上数量的变化。

计数器或点子图： 在计数器上拨珠，十位退一、个位添十，观察珠子的变化。点子图则更直观地呈现出圈、画掉的过程。

人民币（10元和1元硬币）： 3张10元和2张1元，买一个7元的物品，可以拿1张10元换成10张1元，总数变为2张10元和12张1元，再从中拿出7张1元。

通过多种学具的反复操作，学生能从不同角度理解“退位”的本质是“转化”或“重组”，即一个高位单位等价于十个低位单位。

3. 图示辅助，半具象呈现（CPA中的Pictorial）：

在学具操作的基础上，引入图示帮助学生将具象操作与抽象符号连接起来。

位值图： 画出十位和个位，用圆点或方块表示数量。在个位不够减时，从十位划掉一个方块，在个位增加十个方块。

算式分解图： 将被减数分解，如32-7，分解成(20+12)-7，再进一步分解成20+(12-7)。这有助于学生理解“破十法”的思维路径。

通过图示，学生可以摆脱对实物的依赖，开始在头脑中构建可视化模型。教师应强调图示与学具操作的一致性，确保学生理解每一步图示的含义。

4. 抽象概括，形成算法（CPA中的Abstract）：

当学生对具象操作和图示有扎实理解后，引导他们将操作过程转化为竖式计算的符号表示。

规范书写： 强调对位的重要性。

退位标记： 明确十位上退一后，要在十位数字上打点或划斜线并写上减1后的数字（如3上面打点写2），在个位上标示加上10后的数字（如2上面写12）。规范的标记有助于学生理清思维，减少出错。

口诀归纳： 引导学生总结出退位减法的口诀，如“个位不够减，向十位借一当十，和个位上的数合起来再减；十位上的数减一再减。”但要强调这仅仅是记忆辅助，核心是理解原理。

以竖式为例，详细讲解每一步的含义：

“`

2 12 <- 提示：十位3借给个位10，变成2；个位2加上10变成12。

3 2

– 7

2 5

“`

教师应耐心引导学生将“拿小棒”、“画图”的过程与竖式中的每一步对应起来，让学生明白竖式中的每个符号变化背后所代表的实际意义。

三、常见错误与深层原因剖析

在退位减法的教学中，学生出现的错误并非偶然，往往暴露出其对概念理解的偏差或认知上的障碍。深入剖析这些错误有助于教师精准施策。

1. 遗忘退位标记或错误计算退位后的十位：

错误示例： 32 – 7 = 35 （个位2不够减7，直接用7-2=5；十位3不变）

深层原因：

位值概念模糊： 不理解“退一当十”的本质，认为个位不够减就直接“倒过来”减。

短时记忆不足： 记不住十位已经退了一，或者在计算个位时，忘记了十位已经发生了变化。

机械记忆： 仅仅记住“不够减就借位”，但不理解“借”的含义，也未形成规范的标记习惯。

应对策略： 强调规范的竖式书写和退位标记的重要性。反复强调“借一当十，十位少一”的原则。多进行口头表述练习，让学生边算边说：“个位2不够减7，从十位借1，十位3变成2，个位2变成12……”

2. 将退位理解为简单的加法：

错误示例： 32 – 7 = 35 （个位2不够减7，从十位借1，变成12，12-7=5；十位3减1，变成2。结果应该是25，但有学生可能会将十位的3和个位借来的10相加。）

深层原因： 对“退位”的数学本质理解不清，未能区分“数值的重组”与“数值的叠加”。

应对策略： 再次强调学具操作，让学生看到“借一捆小棒打开”是总量不变，只是形式发生变化，而非凭空增加了数量。通过对比不退位减法，突出退位减法的特殊之处。

3. 对“0”的退位处理困难：

错误示例： 302 – 15 = 397 （百位退位给十位，十位退位给个位，但学生可能忘记十位的0已经变成了9。）

深层原因：

连续退位增加认知负荷： 需要连续思考两次退位，对学生的逻辑链和注意力要求高。

“0”的特殊性： 零在减法中的特殊地位，学生容易将其忽略或处理错误。当十位是0时，向百位借1，十位变成10，个位再从十位借1，十位又从10变成9。这个过程比较绕。

应对策略： 专门设计针对含有0的退位减法练习。可以用计数器或小棒清晰演示“0不够减，向更高位借，借来的10再分给下一位”的过程。强调“中间是0，借1变9”的口诀，但务必建立在理解的基础上。

4. 缺乏估算意识，不检查结果的合理性：

错误示例： 32 – 7 = 49 （学生可能计算出错，但未发现结果49比被减数32还大，明显不合理。）

深层原因： 运算思维与数感脱节，将计算视为孤立的技能，缺乏对数值大小关系的整体把握。

应对策略： 培养学生的估算习惯。在计算前，引导学生估算结果的范围（如32-7，大约是30减几，肯定比30小，比20大）。计算完成后，与估算结果进行对比，判断是否合理。

四、策略探究：提升教学有效性

针对上述挑战和常见错误，我在教学中积极探索并实践了以下策略，力求提升教学的深度和广度。

1. 坚持“数形结合，以形促数”：

在整个退位减法的教学过程中，始终贯穿数形结合的思想。从学具操作（实物形状）到图示（平面图形），再到竖式计算（抽象符号），确保每一步符号的背后都有具体的形象支撑。例如，当讲解32-7时，用小棒演示完成后，接着画位值图，在图中呈现2捆12根的转化，最后再写竖式，并在竖式旁边配以简图，帮助学生理解每个数字变化的意义。这种多模态的呈现方式，能够满足不同学生的学习风格，加深理解。

2. 强化位值概念，突出“十进制”：

退位减法的核心是十进制位值原理。因此，在教授退位减法之前，必须扎实巩固位值概念。可以通过“数的组成和分解”练习，如“3个十和2个一组成32”，“32可以分成2个十和12个一”等，反复训练。在退位过程中，要反复强调“十位上的1表示1个十，相当于个位上的10个一”，而不是简单的“借一个”。强调“价值”的转化，而非“数量”的增减。

3. 精心设计习题，梯度递进：

练习设计应有梯度，循序渐进，由简到繁，由易到难。

第一阶段：一位数退位减法。 例如：32-7, 45-9。重点突破个位不够减，向十位借1。

第二阶段：被减数中间有0的退位减法。 例如：30-7, 40-16。重点解决0的退位问题。

第三阶段：被减数百位有0或连续退位减法。 例如：302-15, 500-234。挑战学生的连续思维和处理复杂问题的能力。

第四阶段：多位数退位减法。 拓展到三位数、四位数，让学生掌握普遍规律。

在每个阶段，除了计算练习，还要加入应用题和开放性题目，锻炼学生运用知识解决实际问题的能力。

4. 引导学生自查自纠，培养反思习惯：

鼓励学生在计算完成后进行自我检查，可以使用以下方法：

估算检查： 检查答案是否在合理范围内。

加法验算： 被减数 = 减数 + 差。这是最可靠的验算方法，也能加深对加减法逆运算的理解。

对比检查： 让学生将自己的答案与同学的答案进行对比，找出差异并分析原因。

教师在批改作业时，不应只给出对错，更要标注错误类型，引导学生分析错误原因，帮助他们从错误中学习。

5. 运用游戏化教学，提升学习兴趣：

将退位减法融入趣味游戏，可以有效缓解学生的学习压力，提升学习积极性。

“夺宝奇兵”： 设计一系列退位减法题目，学生答对一题就可以“前进”一格，最终到达宝藏地点。

“退位大闯关”： 将不同难度的退位减法设计成关卡，学生逐级挑战，增强成就感。

“数字卡片配对”： 将算式和结果分别写在卡片上，学生进行配对。

游戏的形式能让学生在轻松愉快的氛围中巩固知识，提高计算熟练度。

6. 强调口头表述，理清思维脉络：

让学生在计算退位减法时，边算边说出思维过程，能够帮助他们理清思路，发现并纠正思考中的漏洞。例如，在计算32-7时，可以要求学生说：“个位上2减7不够，从十位上借1，十位上的3就变成了2，个位上的2加上借来的10就是12；现在12减7等于5，在个位上写5；十位上的2减0（或不减）等于2，在十位上写2。所以32-7等于25。”这种口头表述的训练，不仅能提高学生的表达能力，更能促进他们对计算过程的内化理解。

7. 关注个体差异，实施分层教学：

班级中学生的学习能力存在差异，有些学生可能很快掌握，有些则需要更多时间和帮助。

对于学习较慢的学生： 给予更多一对一的指导，提供更多的学具操作机会，降低练习难度，增加重复性练习。

对于学习较快的学生： 可以鼓励他们探索更多的解题方法（如“平十法”），尝试解决更复杂的连续退位问题，甚至引导他们思考退位减法在生活中的实际应用，培养其深度思考能力。

通过分层教学，确保每个学生都能在自己的基础上有所进步。