一个数除以小数教学反思

一个数除以小数，这在小学数学高年级阶段是一个标志性的教学内容，它不仅是学生计算技能的一次提升，更是其数学思维、数感以及对运算意义理解深度的一次全面检验。每当教到这一单元，我总会陷入深刻的教学反思：学生为何会在此处频频受阻？我们的教学，除了传授计算法则，是否真正触及了其背后的数学本质？如何让这一看似抽象的运算，变得既可理解又可操作？

一、从表象困境到本质探究：学生为何“怕”除数是小数？

在我的教学实践中，观察到学生在进行“一个数除以小数”的计算时，普遍存在几种典型困境：

首先，是计算法则的机械记忆与理解缺失。学生往往能背诵“除数是小数的除法，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，位数不够的，在被除数的末尾用0补足，然后按照除数是整数的小数除法进行计算。”然而，当他们遇到具体题目时，却常常忘记移动方向、移动位数，或混淆被除数与除数的移动规则。这种机械记忆导致的结果是，一旦规则出现偏差，就无法通过原理进行自我纠正。

其次，是数感与估算能力的薄弱。许多学生在计算完成后，对所得的商是否合理缺乏基本的判断。例如，当他们计算 8 ÷ 0.2 时，可能会算出 4 或 0.4 甚至 400 等错误结果，却不自知。他们不理解除数小于1时，商反而会大于被除数的内在逻辑。这种对数字大小关系，尤其是小数大小关系的模糊认知，是导致错误难以发现的深层原因。

再者，是除法意义理解的混淆。小学阶段除法的两种基本意义——“等分除”（平均分成几份）和“包含除”（一个数里包含几个另一个数）——在除数是整数时相对直观。但当除数变为小数，特别是小于1的小数时，学生很难将这些生活经验与“包含除”的意义有效关联。例如，“8里面有几个0.2”的实际情境，对于缺乏生活经验或具象思维能力的学生来说，显得尤为抽象。

这些表象的困境，无一不指向一个核心问题：学生在学习这一内容时，缺乏对“商不变的性质”这一数学本质的深入理解，以及未能将抽象的数学概念与具象的实际问题、数轴、面积模型等有效连接。我们的教学，如果仅仅停留在“教步骤”，而未能深入“教思想”，那么学生的“怕”就不是偶然，而是必然。

二、深度剖析核心概念：商不变的性质与除法意义的再建构

要克服上述教学困境，我们必须回归数学的本源，对“商不变的性质”和“除法意义”进行深度剖析和再建构。

1. 商不变的性质：不仅仅是法则，更是等量关系的变通

“商不变的性质”是解决除数是小数除法的核心武器。它的数学表述是：被除数和除数同时乘（或除以）一个不为0的数，商不变。

• 从乘法逆运算角度理解：

  我们可以这样引导学生思考：已知被除数 ÷ 除数 = 商。那么，商 × 除数 = 被除数。

  如果我们将除数扩大10倍，变为（除数 × 10），为了使等式仍然成立，被除数也必须扩大10倍，变为（被除数 × 10），才能保证商不变。

  例如：8 ÷ 2 = 4。 如果把除数 2 扩大10倍变成 20，那么被除数 8 也要扩大10倍变成 80，这样 80 ÷ 20 = 4，商依然是4。

  这个过程揭示了商不变性质的内在逻辑，即乘法和除法之间的互逆关系，它强调了一种动态的等量平衡。

• 从分数形式理解：

  这是最简洁也最严谨的数学证明。我们可以把除法看作分数形式：被除数 ÷ 除数 = $\frac{被除数}{除数}$。

  根据分数的基本性质（分数的分子和分母同时乘或除以一个不为零的数，分数的大小不变），当被除数和除数同时扩大相同的倍数时，其商（分数的值）自然不变。

  例如：8 ÷ 0.2 = $\frac{8}{0.2}$。为了消除分母中的小数，我们可以分子分母同时乘10，得到 $\frac{8 \times 10}{0.2 \times 10} = \frac{80}{2} = 40$。

  这种解释方式直接而有力，将除数是小数的问题转化为了分数约分（或通分）的思考，有助于学生建立数域间的联系。

• 从“单位统一”角度理解：

  想象我们有 8 米长的布料，每 0.2 米剪一段。这相当于把 8 米和 0.2 米都看成以“0.1 米”为基本单位。

  8 米是 80 个 0.1 米，0.2 米是 2 个 0.1 米。

  问题就变成了：80 个 0.1 米里包含几个 2 个 0.1 米？即 80 ÷ 2 = 40。

  这种思路将抽象的小数除法转化为了整数除法，通过统一“度量单位”的方式，使学生更容易理解为什么小数点要同时移动。

通过多角度、深层次地解释“商不变的性质”，能帮助学生摆脱对口诀的依赖，真正理解其背后的数学原理。

2. 除法意义的再建构：从具象到抽象，从整数到小数

在除数是小数的情境下，“包含除”的意义尤为关键。

• 数轴模型构建：

  在数轴上演示 8 ÷ 0.2，从 0 开始，每 0.2 跳跃一次，看需要跳跃多少次才能到达 8。这种直观的跳跃过程，清晰地展现了“8里面有几个0.2”的包含意义。通过动画演示或学生实际操作（如用尺子量取），能有效地将抽象的除法与具象的空间位置联系起来。

• 面积模型/图形模型：

  例如，一个长 8 厘米，宽未知的矩形面积为 8 平方厘米。如果已知它的宽度是 0.2 厘米，求长度。这个几何模型也能帮助学生理解除法运算。当我们将 0.2 厘米扩展为 2 厘米，那么相应的，8 平方厘米也要扩展为 80 平方厘米，从而得到同样的长度 40 厘米。这种模型能够让学生在视觉上感受“放大”或“缩小”对等量关系的影响。

通过这些模型的辅助，教师可以引导学生将除数是小数的除法与已有的整数除法、分数知识、几何图形等建立联系，从而深化对除法意义的理解。

三、深度教学策略与方法：从“教算法”到“育数思”

在理解了核心数学概念的基础上，我们需要设计一系列深度教学策略，将“教算法”提升到“育数思”的境界。

1. 情境创设：从真实问题中生发数学需求

教学的起点应是真实、有意义的情境。例如：

“妈妈买了一条 8 米长的丝带，每 0.2 米剪成一朵小花，可以剪多少朵？”

“一瓶果汁 8 升，每 0.5 升倒一杯，可以倒多少杯？”

“李叔叔加工 80 个零件，每分钟加工 2.5 个，需要多少分钟？”

这些情境能激发学生解决问题的欲望，让他们感受到“除数是小数”是生活中真实存在的数学问题，从而引出学习的必要性。在探讨如何解决这些问题时，自然会引申出“商不变的性质”。

2. 知识铺垫：在旧知中孕育新知

在正式讲解除数是小数的除法前，应充分回顾和巩固以下知识点：

小数的基本性质： 理解小数末尾添0或去0大小不变，以及小数与分数的关系。

除法的基本意义： 尤其是“包含除”。

整数除法、除数是整数的小数除法： 这是除数是小数除法的基础。

商不变的性质在整数除法中的应用： 例如 80 ÷ 20 = 8 ÷ 2，让学生体会到“同时扩大或缩小相同倍数，商不变”的初步思想。

这些铺垫为学生理解新知识搭建了桥梁，减少了认知冲突。

3. 概念建构：层层递进，多种表征

• 引导探究，从特殊到一般：

  可以先从简单的、能口算的题目入手，如 0.8 ÷ 0.2。

  提问：“0.8元里有几个0.2元？”学生可能通过数数或换算成角（8角里有几个2角）来得到答案4。

  接着提问：“那 8 ÷ 0.2 呢？”引导学生思考 8 和 0.8、0.2 和 0.2 之间有什么关系？

  逐步引导学生发现：将 0.2 扩大 10 倍变成 2，那么 8 也要扩大 10 倍变成 80，这样 80 ÷ 2 = 40。

  在这个过程中，教师的作用是启发、引导，而不是直接给出结论。

• 多维度解释“商不变”：

  如前所述，运用乘法逆运算、分数、单位统一、数轴、面积模型等多种方式，反复、深入地解释“商不变的性质”。每一种解释都应配以具体的例子和直观的演示，以满足不同学生的认知特点。

• 强调“变”与“不变”的统一：

  移动小数点，表面上改变了被除数和除数，但它们的比值（商）却保持不变。这种“形变质不变”的数学思想，是学生理解更高深数学概念的基础。

4. 估算与验证：培养数感，提高判断力

在进行计算前，要求学生先对商的可能范围进行估算。例如 8 ÷ 0.2：

“除数 0.2 比 1 小，所以商应该比被除数 8 大。”（建立“除数小于1，商大于被除数”的意识）

“0.2 大约是 0.1 或 0.25，那么 8 除以 0.1 就是 80，8 除以 0.25 就是 32。所以商大概在 30 到 80 之间。”

这种估算能帮助学生建立对结果合理性的预期，避免出现数量级上的错误。

计算完成后，强调验算：用商乘以除数，看是否等于被除数。验算不仅是检查计算正确性，更是强化对除法意义的理解。

5. 错题分析：化错误为学习资源

在教学中，要鼓励学生暴露错误，并对典型错误进行深入分析。

错误类型一：移动小数点方向错误。 引导学生回忆“商不变的性质”，是被除数和除数“同时”移动，是为了让除数变成整数。

错误类型二：被除数补0错误。 提醒学生小数点移动的本质是扩大倍数，位数不够用0补足的含义。

错误类型三：商的小数点位置错误。 强调商的小数点要与被除数移动后的小数点对齐。

通过集体讨论、互批互改等方式，让学生在分析他人错误中加深理解，在自我反思中巩固知识。

6. 拓展与变式：提升问题解决能力

• 应用题变式： 不仅限于直接计算，更要多角度设计应用题，让学生在实际情境中运用知识。

  例如：“一个油桶能装 2.5 千克油，80 千克油需要多少个这样的油桶？”（除法应用）

  “一个长方形的面积是 8.5 平方米，长是 2.5 米，宽是多少米？”（逆向思维）

• 逆向思维训练：

  已知商和除数，求被除数；已知被除数和商，求除数。这有助于学生从不同角度理解除法算式中各量之间的关系。

• 商与被除数大小关系的探究：

  引导学生观察并总结：当除数大于1时，商小于被除数；当除数等于1时，商等于被除数；当除数小于1（不为0）时，商大于被除数。这种规律的发现能极大地提升学生的数感和推理能力。

四、信息技术与创新教学：可视化抽象概念

在现代教学中，信息技术是不可或缺的辅助工具。

动态几何软件（如GeoGebra）： 可以制作数轴模型，动态演示小数点移动，或者面积模型中图形的放大缩小，使抽象的数学变化可视化。

互动白板或教学软件： 教师可以实时演示计算过程，并随时调整，或者让学生在白板上进行操作，增加课堂互动性。

动画或微课： 将复杂概念分解为小片段，通过生动的动画解释，供学生课前预习或课后复习。例如，制作一个“商不变性质”的动画，清晰展现被除数和除数同时扩大或缩小倍数的过程。

这些技术手段能有效降低概念理解的难度，提升学生的学习兴趣和效率。

五、教学评估与持续改进：反思是教师成长的阶梯

教学评估不应只停留在纸笔测试，更应关注学生在学习过程中的表现：

课堂观察： 观察学生在讨论、操作、解决问题时的投入程度和思维过程。

提问与对话： 通过开放性问题，了解学生对概念的理解深度，而不仅仅是计算结果。

学生作品分析： 从学生的练习、作业中发现共性问题，为后续教学提供依据。

每一次教学结束后，教师都应进行深刻的反思：

本次教学目标是否达成？

学生最困惑的点在哪里？我的解释是否足够清晰？

哪些教学策略是有效的？哪些需要改进？

我是否充分调动了学生的学习积极性？

我是否关注到了不同学习风格和能力的学生？

持续的反思与改进，是教师专业成长的必由之路。

结语

一个数除以小数的教学，绝不仅仅是教授一个计算法则，它承载着培养学生核心数学素养的重任。它要求我们不仅要关注“算得对”，更要关注“理解深”，甚至要启发学生“为何如此算”。从除法意义的重新审视，到商不变性质的多维解读，再到情境引入、模型构建、估算验证、错误分析等一系列深度教学策略的运用，我们旨在引导学生从机械记忆走向主动探究，从符号运算走向意义理解。当我们能够帮助学生真正跨越这道坎，他们所获得的将不仅仅是一个计算技能，更是一种将复杂问题转化为简单问题的数学思想，一种对数字背后逻辑关系的深刻洞察力，以及一种面对未知挑战时，能够自主探寻规律、解决问题的强大能力。这，才是一个数除以小数教学反思的真正价值所在。