分数除法解决问题教学反思

分数除法作为小学数学高年级阶段的核心内容之一，其解决问题的教学一直是教学的难点与重点。在多年的教学实践中，我深感此部分的教学并非仅仅是教会学生“除以一个数等于乘以它的倒数”这一算法法则，更深层次的挑战在于如何帮助学生真正理解分数除法的意义，并能够灵活运用其解决实际问题。本文将从教学困境、策略探索、典型案例分析以及教师专业成长等多个维度，对分数除法解决问题教学进行深入反思。

一、 分数除法解决问题教学的深层困境剖析

分数除法解决问题之所以成为教学中的“硬骨头”，其原因错综复杂，既有学生认知发展的局限性，也有教师教学理念和方法的偏差，还涉及教材呈现与评价导向等外部因素。

1. 学生认知障碍：抽象性与既有经验的冲突

• 分数概念的抽象性： 相较于整数，分数本身就是一种更抽象的数，它不仅表示部分与整体的关系，还能表示一个商，甚至一个比。学生对分数的理解往往停留在“部分”的层面上，对其作为“数”的整体属性，特别是比率意义的理解不够深入。这种对分数本质理解的偏差，直接影响了他们对分数运算的意义建构。
• 除法意义的拓展与混淆： 整数除法通常有两种意义：一是“平均分”（等分除），即将一个总量平均分成若干份，求每份是多少；二是“包含”（包含除），即一个总量里包含多少个某一份。当除数变为分数时，这两种意义被进一步拓展，例如“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，这实际是“包含除”的逆运算。而“把一个分数平均分成几份，求每份是多少”，则依然是“等分除”。学生往往难以将这些具体情境与抽象的除法算式建立联系，尤其当除数是分数时，“除以一个比1小的数反而结果变大”这一现象，更是颠覆了他们“除法让数变小”的固有认知，造成思维上的混乱。
• “倒数”概念的突兀性： “除以一个数等于乘以它的倒数”是分数除法的核心算法。然而，对于学生而言，“倒数”是一个相对独立且缺乏直观意义的概念，它与分数除法之间为何存在这样的转换关系，很多学生仅仅停留在记忆层面，未能从算理上理解其必然性。这种知其然不知其所以然的状态，导致学生在解决问题时，一旦遇到情境稍复杂，或需要灵活变通的题目，便无所适从。

2. 教师教学误区：重算法轻意义，重知识轻思维

• 过早引入算法，忽视概念构建： 在实际教学中，部分教师为了追求效率或应对考试压力，可能倾向于在学生对分数除法的意义尚未充分理解时，便急于引入“乘以倒数”的算法。这种“填鸭式”的教学，剥夺了学生自主探究、理解算理的机会，使他们沦为算法的机械执行者，而非数学意义的探究者。
• 教学情境的单一与缺乏真实性： 教材中的例题往往是经过提炼和简化的，如果教师仅仅局限于教材，不拓展更丰富、更贴近学生生活的真实情境，就难以激发学生的学习兴趣，也难以帮助他们理解分数除法在现实世界中的应用价值。当问题情境脱离了具体的例子，学生便难以将其与抽象的数学模型对应起来。
• 忽视错误分析，未能抓住学习契机： 学生在解决分数除法问题时，常会出现各种错误，例如单位“1”找错、列式错误、混淆除法与乘法等。如果教师仅仅将这些错误视为扣分点，未能深入分析其背后的思维障碍，并以此为契机进行针对性地引导和纠正，那么学生的这些错误认知便会固化，甚至迁移到其他相关知识的学习中。
• 教师自身对概念理解的深度不足： 有时，教师自身对分数除法意义的理解也可能停留在“会算”的层面，未能从数学本质上深刻把握其等分、包含、比率等多种含义之间的内在联系。当教师对知识的理解不够深入时，就难以在教学中以清晰、多元的方式阐释概念，更难以有效应对学生在学习过程中出现的各种思维困惑。

3. 教材呈现与评价导向的局限

• 教材例题的模式化： 现行教材在分数除法解决问题部分，往往以类型题的形式呈现，如“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”等。这种模式化的呈现方式，虽然有助于学生掌握典型解题思路，但也可能限制了学生的思维，使其习惯于“对号入座”，而非主动分析问题结构。
• 评价导向的片面性： 考试和评价体系往往更侧重于最终的计算结果和正确率，对于学生解决问题的过程、思维的深度以及对数学概念的理解程度，缺乏有效且细致的考量。这种“唯分数论”的导向，无形中也助长了教师和学生对算法的过度追求，而忽视了对数学意义和问题解决能力的培养。

二、 分数除法解决问题教学的策略探索与实践

针对上述困境，我反思并尝试了一系列教学策略，旨在变“教算法”为“教算理”，变“教知识”为“教思维”，最终提升学生解决实际问题的能力。

1. 夯实基础，循序渐进，激活旧知，以旧引新

任何新知的学习都离不开旧知的基础。在引入分数除法解决问题之前，我格外强调对以下知识的复习与巩固：

分数意义的再认识： 引导学生从“部分与整体”、“比率”、“商”等多个角度重新理解分数，尤其是分数作为“单位”的意义，为后续理解“单位‘1’”打下基础。

分数乘法的灵活运用： 分数除法是分数乘法的逆运算，让学生熟练掌握分数乘法解决“求一个数的几分之几是多少”的问题，有助于他们更好地理解分数除法解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题。

整数除法意义的重温与拓展： 通过具体的例子，让学生回顾整数除法的两种意义（平均分和包含），并思考当除数是分数时，这些意义如何拓展，为后续理解分数除法的多种情境提供思维框架。例如，通过“2 ÷ 1/2”和“1/2 ÷ 2”的对比，引导学生思考除数变化带来的意义和结果的变化。

2. 借助直观模型，变抽象为具象，构建意义

数学的抽象性是学习的难点，而直观模型则是连接抽象与具象的桥梁。在分数除法教学中，我特别重视数形结合和动手操作。

• 线段图的有效运用： 线段图是分析分数应用题，尤其是找到“单位‘1’”和理清数量关系的关键工具。
  • 引导学生画图： 从简单的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题入手，如“小明有120元，是小红的4/5，小红有多少元？” 引导学生先画出表示小红钱数的线段（作为单位“1”），再画出小明钱数的线段，将其分成5份，小明占4份，标出120元对应的部分。通过图示，学生能直观地看到120元对应的份数，从而计算出每份的钱数，进而求出总量。
  • 辨析单位“1”： 强调“是”、“占”、“比”等关键词对确定单位“1”的重要性。例如，“甲比乙多1/3”与“甲是乙的4/3”，虽然意义相关，但单位“1”的指向可能不同，通过线段图对比，能帮助学生理清。
• 面积图/圆饼图的辅助理解： 对于“分数除以整数”或“整数除以分数”的等分除意义，面积图或圆饼图能提供直观的支撑。例如，“1/2 ÷ 2”可以用一个半圆平均分成两份来表示，每份是1/4；“2 ÷ 1/2”则可以理解为2个整体里面包含多少个1/2，通过两个完整圆，每个再切开成两半，直观数出有4个1/2。
• 动手操作与情境模拟： 结合生活情境，让学生通过实际操作来感受分数除法的意义。例如，一张纸条长2米，每1/2米做一朵花，可以做几朵？让学生实际测量、剪裁，数一数能剪出几段，从而理解“包含”的意义。这种亲身体验比单纯的讲解更深入人心。

3. 揭示算法本质，理解转化思想，探究“单位‘1’”的奥秘

• 转化思想的渗透： 分数除法的核心是“除以一个数等于乘以它的倒数”，这本身就是一种转化思想的体现。在教学中，不能仅仅停留于告知，而应引导学生探究其内在逻辑。可以从以下方面尝试：
  • 逆运算的视角： 既然除法是乘法的逆运算，那么“12 ÷ (4/5) = ?” 就相当于求“ (?) × (4/5) = 12”。通过引导，让学生理解，如果一个数的4/5是12，那么这个数乘以4/5就等于12。
  • 单位化归的思路： “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，我们可以先求出“单位‘1’”的几分之一是多少，再求出“单位‘1’”的完整量。例如，12是某个数的4/5，那么12 ÷ 4 = 3 就表示这个数的1/5是多少，再用3 × 5 = 15 得到这个数。将12 ÷ (4/5) 拆解为 (12 ÷ 4) × 5，实际上就是将其转化为“除以分子再乘以分母”，而这与“乘以倒数”的形式是等价的，从而揭示了算理的内在一致性。
• “单位‘1’”的深度解析： “单位‘1’”是分数应用题的灵魂，也是学生最容易混淆的概念。
  • 明确参照量： 反复强调“单位‘1’”是作比较的参照量，是某个数量的整体，其他数量都是它的几分之几。
  • 找准对应关系： 强调“部分量”与“部分量所占单位‘1’的分率”之间的对应关系，即“部分量 ÷ 对应分率 = 单位‘1’的量”。这是解决分数除法应用题的万能钥匙。
  • 类型识别与变式训练： 引导学生区分不同类型的分数应用题，如“求一个数的几分之几是多少”（乘法）与“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”（除法）。同时，进行变式训练，如“甲比乙多几分之几”和“甲是乙的几分之几”，帮助学生灵活识别和确定单位“1”。

4. 多元呈现，培养问题解决策略与元认知能力

• “一题多解”的鼓励： 对于同一道分数除法应用题，鼓励学生尝试不同的解题思路。例如，除了常规的除法列式，也可以尝试用方程法解决。这不仅能拓宽学生的思维，也能加深他们对数学概念的理解，培养灵活解决问题的能力。
• “变式训练”的推行： 在掌握基本类型后，对题目进行变式，如改变已知条件和问题，或改变单位“1”的指向，或增加干扰信息。这能有效检验学生对概念的理解深度，锻炼其分析问题、筛选信息的能力。
• “问题创设”的引导： 鼓励学生根据已学的分数除法知识，自己创编数学问题，并尝试解答。这一过程能够反向促进学生对知识的梳理和理解，培养其提出问题、分析问题的能力，同时激发学习兴趣。
• “错误资源”的利用： 将学生在练习或考试中出现的典型错误作为宝贵的教学资源。
  • 集体辨析： 选取有代表性的错误，在课堂上组织学生进行集体讨论和辨析，引导他们分析错误原因，探讨正确方法。
  • 错题集： 鼓励学生整理自己的错题集，定期回顾和反思，避免重复犯错。通过这种方式，错误不再是学习的绊脚石，而是学生自我提升的阶梯。
• 引导学生进行元认知： 培养学生在解决问题过程中反思自己的思维过程，例如“我是怎么想的？”“为什么会这样想？”“这种方法好不好？”“还有其他方法吗？”这种自我监控和自我调节的能力，是高阶思维的重要体现。

5. 提升教师素养：教学反思与专业成长

教学反思是教师专业成长的重要途径。在分数除法解决问题教学上，我深感作为教师，自身的专业素养是教学成功的基石。

• 深入钻研教材与教法： 不仅仅停留在教参，更要广泛阅读相关数学教育理论书籍，了解分数除法在数学发展中的地位，以及不同学派对此概念的阐释。理解概念的本质，才能在教学中游刃有余。
• 关注前沿理论与实践： 积极参与教研活动，学习优秀教师的经验，尝试将建构主义、情境教学等现代教育理论融入教学实践，不断更新教学理念和方法。
• 开展同伴互助与合作研究： 与同事们进行经常性的教学交流与研讨，分享教学经验，共同探讨教学难点，集思广益，共同提高。这种团队合作的力量，远超个人单打独斗。
• 注重教学实践中的数据收集与分析： 记录学生的学习表现，分析学生的作业、测试数据，了解他们在哪些知识点上存在普遍性困难，哪些方法更有效，为后续的教学调整提供实证依据。

三、 典型案例分析与教学启示

案例1：理解“单位‘1’”的迷思

• 问题： 某工程队修路，第一天修了全长的1/3，第二天修了120米，正好是第一天的3/4。这条路全长多少米？
• 学生错误： 有的学生直接用120 ÷ 3/4 = 160米，然后用160 ÷ 1/3 = 480米，认为这是全长。他们把120米对应的单位“1”和160米对应的单位“1”混淆了。
• 反思与启示： 这个问题暴露了学生在多层分数关系中，不能正确辨析“单位‘1’”的困境。
  • 强调“谁是谁的几分之几”的对应关系： 引导学生首先分析“第二天修了120米，正好是第一天的3/4”。这句话明确指出“第一天修的”是单位“1”。因此，第一天修的长度 = 120 ÷ 3/4 = 160米。
  • 再确定总单位“1”： 接着分析“第一天修了全长的1/3”。这里的“全长”是单位“1”。那么，全长 = 160 ÷ 1/3 = 480米。
  • 线段图的层层递进： 引导学生画出两条线段图。第一条线段图以“第一天修的长度”为单位“1”，第二条线段图以“全长”为单位“1”，通过层层剥笋的方式，将复杂问题分解为简单问题，帮助学生理清数量关系。

案例2：除法意义的拓展与混淆

• 问题： “20个苹果，每5个装一袋，可以装几袋？”（整数除法）
  • “2米布，每1/2米做一件衣服，可以做几件？”
  • “2平方米地，平均分成2份，每份是几平方米？”
• 学生困惑： 面对“2米布，每1/2米做一件衣服，可以做几件？”（2 ÷ 1/2 = 4），学生会感到奇怪，为什么除法结果反而变大了？这与他们“除法让数变小”的经验相悖。
• 反思与启示： 这是分数除法教学中常见的认知冲突点。
  • 回归除法本质： 引导学生回顾整数除法的“包含”意义——“20里面有几个5？”。进而类比到分数除法：“2里面有几个1/2？”通过实物操作或画图，让学生直观地数出答案。
  • 区分两种除法意义： 明确区分“等分除”和“包含除”。例如，“2平方米地，平均分成2份，每份是几平方米？”（等分除，2 ÷ 2 = 1）。而“2米布，每1/2米做一件衣服，可以做几件？”则是“包含除”。当除数是比1小的数时，表示单位“1”被分得更细小，所以包含的份数反而更多。
  • 多举生活实例： 除了课本例题，多引用“一瓶2升的饮料，每1/4升倒一杯，可以倒几杯？”“5公斤大米，每1/2公斤装一袋，可以装几袋？”等生活情境，让学生在具体情境中体会分数除法的实际意义。

案例3：只重计算，不重算理

• 问题： 学生能熟练地将“A ÷ B/C”转化为“A × C/B”，但当问及“为什么要乘以倒数？”时，却支支吾吾，答不上来。
• 反思与启示： 这是典型的“知其然不知其所以然”的现象，算法与算理脱节。
  • 追问“为什么”： 教师在教学中要多追问“为什么”，而不是仅仅满足于“怎么做”。例如，可以引导学生从“通分”的角度来理解：

    A ÷ B/C = (A × C) / C ÷ B/C = (A × C) ÷ B （分母相同，分子相除）

    = (A × C) / B = A × C/B。

    这种推导虽然对小学生而言可能略显复杂，但可以作为一个拓展思路，让部分学有余力的学生了解其内在逻辑。

  • 回归分数与除法的关系： A ÷ B/C 也可以看作是 A/(B/C)，利用分数的基本性质，分子分母同乘以C，得到 (A × C) / (B/C × C) = (A × C) / B = A × C/B。
  • 强调验证： 鼓励学生在计算后进行验算，例如通过乘法来验证除法结果的正确性。这不仅能巩固计算，也能在验证过程中加深对运算关系的理解。
  • 让学生“讲题”： 课堂上鼓励学生上台讲解自己解题的思路，特别是每一步的意义。当学生能用自己的语言清晰地解释算理时，说明他们真正理解了。

四、 结语：持续反思，走向深度教学

分数除法解决问题的教学反思是一个没有终点的旅程。它提醒我们，数学教学远不止是知识的传递，更是思维的训练、能力的培养和素养的提升。

• 从“教知识”到“教思维”： 我们的目标不应仅仅是让学生学会计算，更重要的是培养他们分析问题、解决问题的思维方式，这种思维方式比知识本身更为重要，它能迁移到学生未来学习和生活的方方面面。
• 从“结果导向”到“过程关注”： 我们要关注学生在解决问题过程中的每一步思考，理解他们可能存在的困惑，及时提供支架，引导他们经历从直观到抽象、从具体到一般的认知过程。
• 从“模仿学习”到“自主探究”： 给予学生更多的自主探究空间，让他们在观察、猜测、验证、归纳中构建对数学知识的理解，体验数学的乐趣和力量。
• 教师是终身学习者： 教学是艺术，更是科学。作为教师，我们需要保持对教学的敏感和反思，不断学习新的教育理论和教学方法，提升自身的专业素养，才能更好地引领学生走向数学的深处，让他们在数学的世界里自由翱翔。

分数除法解决问题教学的挑战与机遇并存。每一次反思，都是一次自我超越的契机。我相信，通过持续的反思和实践，我们能够找到更有效、更有趣的教学路径，让每一个学生都能在分数除法的学习中，不仅“会做”，更能“懂理”，最终成为真正的数学问题解决者。